Фильтр Лежандра

Фильтр Лежа́ндра — электронный фильтр, для расчёта коэффициентов которого используются многочлены Лежандра. Был предложен Атанасиосом Папулисом в 1958 году. Имеет крутой спад амплитудно-частотной характеристики, не обладает пульсациями характеристики. Является компромиссным решением между фильтром Баттерворта (имеющим монотонную характеристику) и Чебышёва (обладающим крутым спадом характеристики).

Квадрат амплитудно-частотной характеристики для фильтра порядка ${\displaystyle n}$ выражается через полиномы Лежандра ${\displaystyle L_{n}}$:

${\displaystyle M_{n}^{2}(\omega )={\frac {1}{1+L_{n}(\omega ^{2})}},}$

выбор порядка ${\displaystyle n}$ полинома ${\displaystyle L_{n}}$ производится согласно некоторому критерию качества фильтра, в частности монотонности передаточной характеристики в полосе пропускания и максимально быстрому спаду в полосе подавления. Эти ограничения выражаются^[1]:

${\displaystyle L_{n}(0)=0,}$

${\displaystyle L_{n}(1)=1.}$

Условие монотонности:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\geq 0.}$

И условие максимальной крутизны в полосе подавления при ${\displaystyle \omega \geq 1}$:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\right|_{\omega =1}={\text{Maximum}}.}$

• Линейный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• БИХ-фильтр

• Kuo, Franklin F. Network Analysis and Synthesis. — Wiley, 1966. — ISBN 0471511188.

• Фильтр Лежандра (англ.)
• Сравнение линейных фильтров (англ.)