Формула Гаусса — Бонне

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Обозначим через ${\displaystyle K}$ гауссову кривизну ${\displaystyle \Omega }$ и через ${\displaystyle k_{g}}$ геодезическую кривизну ${\displaystyle \partial \Omega }$. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega }k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega ),}$

где ${\displaystyle \chi (\Omega )}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle \Omega }$.

В частности, если у ${\displaystyle \Omega }$ нет границы, получаем

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega ).}$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом^[1], Пьер Оссиан Бонне^[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика^[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке^[4].

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома ${\displaystyle P_{i}}$ касательный вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ разворачивается на угол ${\displaystyle \phi _{i}}$ в сторону области ${\displaystyle \Omega }$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega ).}$

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
• Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы ${\displaystyle \pi }$.

• Формула Гаусса
• Теорема Бертрана — Диге — Пюизё

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, № 9, с. 116—121.

• Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem". Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777—784.