Формула Грассмана

Формула Грассмана — математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким учёным Г. Г. Грассманом.

Формулировка

Если линейное пространство V конечномерно, то конечномерными будут и все линейные подпространства в V, причём, по свойству монотонности размерности, размерности подпространств не превышают размерность всего пространства.

Вычисление размерности может быть сделано по формуле:

\dim(L_{1}\cap L_{2})=\dim(L_{1})+\dim(L_{2})-\dim(L_{1}+L_{2})\Longleftrightarrow \dim(L_{1}\cap L_{2})+\dim(L_{1}+L_{2})=\dim(L_{1})+\dim(L_{2}).

Литература

Яцкин Н. И. Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы: Учебное пособие. — Иваново : Ивановский гос. ун-т 2008. — 607 с.

Похожие исследовательские статьи

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

<span class="mw-page-title-main">Векторное пространство</span> основное понятие линейной алгебры, пространство над полем

Ве́кторное простра́нство — математическая структура, представляющая собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы.

Евкли́дово простра́нство в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».

А́лгебра Ли — объект общей алгебры, являющийся векторным пространством с определенной на ней антикоммутативной билинейной операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби. В общем случае алгебра Ли является неассоциативной алгеброй. Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Ба́зис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве или модуле, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

Лине́йная форма, лине́йный функционал — линейное отображение, действующее из векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ в поле $\text{[math]}$ . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

\text{[math]}

\text{[math]}

Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор $\text{[math]}$ , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором если $\text{[math]}$ . Такой оператор называют идемпотентным.

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\text{[math]}$ , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства $\text{[math]}$ размерности $\text{[math]}$ называется многообразие, состоящее из его $\text{[math]}$ -мерных подпространств. Обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . В частности, $\text{[math]}$ — это многообразие прямых в пространстве $\text{[math]}$ , совпадающее с проективным пространством $\text{[math]}$ . Названо в честь Германа Грассмана.

В линейной алгебре подпростра́нством Крыло́ва размерности $\text{[math]}$ , порождённым вектором $\text{[math]}$ и матрицей $\text{[math]}$ , называется линейное пространство

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства $\text{[math]}$ , имеющая вид

\text{[math]}

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе.

Ортогональное дополнение подпространства $\text{[math]}$ векторного пространства $\text{[math]}$ с билинейной формой $\text{[math]}$ — это множество всех векторов $\text{[math]}$ , ортогональных каждому вектору из $\text{[math]}$ . Это множество является векторным подпространством $\text{[math]}$ , которое обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l₁ пересекает прямую l₂», также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка P, инцидентная обоим прямым l₁ и l₂». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа (а именно, плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение.

Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.