Формула Лейбница для определителей

Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ через перестановки её элементов:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — функция знака перестановки в группе перестановок ${\displaystyle S_{n}}$, которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.

С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}}$.

Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.

Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной знакопеременной мультилинейной функцией^[англ.], обращающейся в единицу на единичной матрице^[1]. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.^[2]

Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу ${\displaystyle n}$ (числу упорядоченных перестановок из ${\displaystyle n}$ элементов). Для больших ${\displaystyle n}$ определитель можно вычислить за ${\displaystyle O(n^{3})}$ операций путём формирования LU-разложения ${\displaystyle A=LU}$, обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$, где определители треугольных матриц ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle U}$ равняются произведениям диагональных элементов матриц. В практических приложениях вычислительной линейной алгебры, однако, явное вычисление определителя используется редко^[3].

• Дифференцирование поисковой функции
• Формула Лейбница (производной произведения)

• Определитель — статья из Математической энциклопедии. Д. И. Супруненко
• Lloyd N. Trefethen, David Bau. Numerical Linear Algebra. — SIAM, 1997. — ISBN 978-0898713619.
• Serge Lang. Linear Algebra. — Springer-Verlag, 2004. — (Undergraduate texts in mathematic). — ISBN 0-387-96412-6.