Формула Тейлора — Пеано

Формула Тейлора — Пеано Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle z_{0}}$ — предельная точка множества ${\displaystyle D_{f}}$ и ${\displaystyle z_{0}\in D_{f}}$. Если функция ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$-дифференцируема в точке ${\displaystyle z_{0}}$, то для всех ${\displaystyle z\in D_{f}}$ справедлива формула Тейлора — Пеано

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},}$ (1)

где ε_n(z) — непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀) = 0. Применим метод математической индукции. Если n = 0, то утверждение очевидно при ε_n(z) = f(z) − f(z₀). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n − 1 и что функция f n раз дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n − 1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z ∈ D_f,

${\displaystyle f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)}$

По предположению

${\displaystyle \varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{n-1}(z)}$ — непрерывная в точке z₀ функция и ${\displaystyle \varepsilon _{n-1}(z_{0})=0}$. Из равенств (2) и (3) получаем:

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1}\right)=}$

${\displaystyle =f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k+1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepsilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n},}$

что равносильно формуле (1) при ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\varepsilon _{n-1}}$.

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.