Формула Торричелли (кинематика)

Формула Торричелли в кинематике устанавливает связь между конечной скоростью тела ${\displaystyle v_{f}}$, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением, и его начальной скоростью ${\displaystyle v_{i}}$, величиной ускорения ${\displaystyle a}$ и пройденным путём ${\displaystyle \Delta s}$:

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta s}$

Формула удобна тем, что не требует явного вычисления времени движения.

Получена^[] Эванджелиста Торричелли.

Имеем формулу для зависимости скорости от времени:

${\displaystyle v_{f}=v_{i}+at}$

Возводя в квадрат обе части уравнения, получим:

${\displaystyle v_{f}^{2}=(v_{i}+at)^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+a^{2}t^{2}}$

Величина ${\displaystyle t^{2}}$ фигурирует в формуле, связывающей пройденный телом путь, время, ускорение и начальную скорость. Эта величина может быть выражена через остальные:

${\displaystyle s=s_{i}+v_{i}t+a{\frac {t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle s-s_{i}-v_{i}t=a{\frac {t^{2}}{2}}}$

${\displaystyle t^{2}=2{\frac {s-s_{i}-v_{i}t}{a}}=2{\frac {\Delta s-v_{i}t}{a}}}$

Подставляя это выражение в нашу начальную формулу, получим:

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+a^{2}\left(2{\frac {\Delta s-v_{i}t}{a}}\right)}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+2a(\Delta s-v_{i}t)}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2av_{i}t+2a\Delta s-2av_{i}t}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta s}$