Формула Якоби

Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

Формулировка

Пусть $X(t)$ — решение уравнения ${\dot {X}}=A(t)X$ , где $X,A$ — матрицы. Тогда:

\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)

Доказательство

Можно доказать, что ${\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ ^[1]. В доказуемой формуле ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ . Таким образом, функция $y(t)=\det X(t)$ удовлетворяет условию ${\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ . Поэтому $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ , где $c=y(0)=\det X(0)$ ^[2].

Примечания

↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 276.
↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 273.

Литература

Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Вычислительная математика</span> раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Экспоне́нта — показательная функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — число Эйлера.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Матрица́нт — фундаментальная матрица $\text{[math]}$ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

\text{[math]}

— однопараметрическое семейство матриц.

В математике квадра́тная ма́трица — это матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица. След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $\text{[math]}$ элементы матрицы $\text{[math]}$ , то её след $\text{[math]}$ . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми.

Элемента́рные фу́нкции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

степенная функция с любым действительным показателем;
показательная и логарифмическая функции;
тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Формулировка квантовой механики через интеграл по траекториям — описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое определение одиночной, уникальной траектории системы полной суммой по бесконечному множеству всевозможных траекторий для расчёта квантовой амплитуды. Методологически формулировка через интеграл по траекториям близка к принципу Гюйгенса — Френеля из классической теории волн.

Теория Фредгольма — раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле — изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке — представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

\text{[math]}

Гауссова функция — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

\text{[math]}

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Обратный оператор к оператору $\text{[math]}$ — оператор, который каждому $\text{[math]}$ из множества значений $\text{[math]}$ оператора $\text{[math]}$ ставит в соответствие единственный элемент $\text{[math]}$ из области определения $\text{[math]}$ оператора $\text{[math]}$ , являющийся решением уравнения $\text{[math]}$ . Если оператор $\text{[math]}$ имеет обратный, то есть уравнение $\text{[math]}$ имеет единственное решение при любом $\text{[math]}$ из $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается $\text{[math]}$ .

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.