Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Пусть ${\displaystyle a_{n}}$ — последовательность действительных или комплексных чисел и ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывно дифференцируемая на луче ${\displaystyle [1,x)}$ функция. Тогда

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u}$

где

${\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.}$

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ и ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\,,}$ легко видеть, что ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тогда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u}$

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:

• ${\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du}$, где ${\displaystyle \left\{t\right\}}$ — дробная часть числа ${\displaystyle t}$.

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ и ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ аналогично ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тогда

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области ${\displaystyle \Re (s)>0,}$ поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что ${\displaystyle \zeta (s)}$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.