Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна — гипотетическое устройство, якобы способное, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона с любой заданной точностью в любой момент времени, также заданный с любой точностью. Идея этого устройства была выдвинута А. Эйнштейном во время его дискуссии с Н. Бором на Сольвейской конференции в 1930 г.^[1] Н. Бор объяснил этот парадокс и подчеркнул, что необходимо различать собственно измерительные приборы, служащие для определения системы отсчёта и те части прибора, которые являются объектами исследования и подвержены квантовым эффектам.^[2]

Фотонный ящик Эйнштейна состоит из ящика с отверстием в стенке, которое можно открывать и закрывать при помощи часового механизма изнутри ящика. Пусть ящик заполнен излучением, а часовой механизм запрограммирован открыть отверстие в заданный момент на очень короткое время. Таким образом, можно добиться того, что в момент времени, заданный с любой точностью, через отверстие пройдет один фотон. Путем определения разности масс ${\displaystyle \Delta m}$ ящика до и после этого момента времени при помощи взвешивания, якобы можно, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона ${\displaystyle \Delta E}$ с любой желаемой точностью согласно формуле Эйнштейна зависимости между массой и энергией:

${\displaystyle \Delta E=\Delta mc^{2}}$ (1)

Предположим, что фотонный ящик для взвешивания подвешен на пружине, к нему прикреплена стрелка, а снизу к ящику прикреплена подставка с гирями для точной установки стрелки к нулю измерительной шкалы в процессе взвешивания (см. рис). Для взвешивания фотонного ящика необходимо установить стрелку весов, прикреплённую к ящику, в нулевое положение шкалы с некоторой наперёд заданной точностью ${\displaystyle \Delta q}$. Но, согласно соотношению неопределённостей, при этом возникает неопределённость импульса ящика ${\displaystyle \Delta p}$ (${\displaystyle \hbar }$ - постоянная Планка):

${\displaystyle \Delta q\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$.

Эта неопределённость должна быть меньше импульса, переданного полем тяготения телу с массой ${\displaystyle \Delta m}$ в течение времени ${\displaystyle T}$, в течение которого происходит процесс взвешивания (${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения):

${\displaystyle Tg\Delta m>\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2\Delta q}}}$ (2)

В то же время, по общей теории относительности, часы, сместившиеся в поле силы тяжести на величину ${\displaystyle \Delta q}$, изменят свой ход таким образом, что их показание в течение промежутка времени ${\displaystyle T}$ изменится на величину ${\displaystyle \Delta T}$ (${\displaystyle c}$ - скорость света):

${\displaystyle {\frac {\Delta T}{T}}={\frac {g\Delta q}{c^{2}}}}$ (3)

Из формул (2) и (3) следует, что вследствие взвешивания показания часов содержат неопределённость ${\displaystyle \Delta T}$:

${\displaystyle \Delta T\geqslant {\frac {\hbar }{2c^{2}\Delta m}}}$

Из этой формулы и формулы (1) следует, что неопределённость знаний показаний часов и неопределённость знаний энергии фотона связаны согласно соотношению неопределённостей:^[3]

${\displaystyle \Delta T\Delta E\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

• Дискуссия Бора с Эйнштейном
• Соотношение неопределённостей
• Эквивалентность массы и энергии
• Гравитационное красное смещение

• Нильс Бор Атомная физика и человеческое познание. - М., ИЛ, 1961. - 150 с.