В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых Генри Джеком[англ.]. Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и зональные многочлены[англ.], и, в свою очередь, обобщён многочленами Хекмана – Опдама[англ.] и многочленами Макдональда[англ.].
Определение
В кольце
однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом:
, где
— базис из степенных сумм,
— централизатор разбиения
, а
— символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса
к базису из функций Шура
будет верхнетреугольной.
Более общий вариант задания скалярного произведения
приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются
и однозначно определяются из следующих трёх свойств:
- (P1) (ортогональность)
при 
- (P2) (верхнетреугольность)

(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)
- (P3) (нормализация)
![{\displaystyle [m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debbcaf633433288afcedc0a2921e35b4cfc19ca)
(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)
Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.
Рекурсивная формула для многочленов Джека
Функция Джека
разбиения числа
, с параметром
, заданным числом аргументов
может также быть определена следующей рекурсивной формулой:
- Для m=1

- Для m>1

где суммирование производится по всем разбиениям
таким что косое разбиение
является горизонтальной полосой, а именно
(
должно равняться 0, иначе
) и
где
равняется
если
и
иначе. Выражения
и
обозначают сопряжённые разбиения
и
соответственно. Обозначение
значит, что произведение берётся по всем координатам
ячеек в диаграмме Юнга разбиения
.
Комбинаторная формула
В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи [1] получили чисто комбинаторную формулу для многочленов Джека
от n переменных:

Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы
и

где

Допустимая таблица формы
это заполнение диаграммы Юнга
числами 1,2,…,n такими, что для каждой ячейки (i,j) в таблице,
, если 
, если
и 
— множество критических ячеек
, таких что
и 
Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.
C нормализация
Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca582e0a32a9dc292850e71c6dd10422a1cc0029)
Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как

где

Для
обычно обозначается
и называется зональным многочленом[англ.].
P нормализация
P нормализация задаётся тождеством
, где

где
и
обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при
является обычной функцией Шура.
Подобно многочленам Шура,
может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра
.
Таким образом, формула [2] для функций Джека
задаётся как

где сумма берётся по всем таблицам формы
, и
обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.
Вес
можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы
может быть представлена как последовательность разбиений

где
обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда

где

и произведение берётся только по всем ячейкам s в
, таким что s имеет ячейку из
в том же ряду, но не в одном столбце .
Связь с многочленами Шура
При
многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура

где

произведение берётся по всем длинам крюков разбиения
.
Характеры Джека
Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения
называются характерами Джека: 
Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:





где
— число ячеек слева от s в диаграмме Юнга,
— над s,
— централизатор разбиения
, равный 
Свойства характеров Джека:
- Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от
. - Соотношение ортогональности.

- При
характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы (
, где
), откуда они и получили своё название.
Свойства
Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:
, если 
Аргумент матрицы
Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если
матрица с собственными значениями
, тогда

Примечания
Ссылки
- Demmel, James; Koev, Plamen (2006), "Accurate and efficient evaluation of Schur and Jack functions", Mathematics of Computation, 75 (253): 223—239, CiteSeerX 10.1.1.134.5248, doi:10.1090/S0025-5718-05-01780-1, MR 2176397.
- Jack, Henry (1970-1971), "A class of symmetric polynomials with a parameter", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A. Mathematics, 69: 1—18, MR 0289462
{{citation}}
: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка). - Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 March 1997), "A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials", Inventiones Mathematicae, 128 (1): 9—22, arXiv:q-alg/9610016, Bibcode:1997InMat.128....9K, doi:10.1007/s002220050134
- Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144
- Stanley, Richard P. (1989), "Some combinatorial properties of Jack symmetric functions", Advances in Mathematics, 77 (1): 76—115, doi:10.1016/0001-8708(89)90015-7, MR 1014073.
- Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.
- MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)
- SAGE documentation for Jack Symmetric Functions