Функции Скорера

Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году^[1]. Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри:

w''-zw={\frac {1}{\pi }}

Частными решениями этого уравнения являются функции: $-\mathrm {Gi} (z)$ , $\mathrm {Hi} (z)$ и $\mathrm {Hi} (ze^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}})e^{\mp {\frac {2\pi i}{3}}}$ .

Интегральное выражение

Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы:

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}-{\frac {zt}{2}}\right)\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}zt+{\frac {2\pi }{3}}\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+zt\right)\,dt.\end{aligned}}

Для действительного аргумента:

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.\end{aligned}}

Связь с функциями Эйри

Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{z}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (z)\int _{0}^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (z)&{}=\mathrm {Bi} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (z)\int _{-\infty }^{z}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}

Откуда, очевидно:

\mathrm {Gi} (z)+\mathrm {Hi} (z)=\mathrm {Bi} (z).

Разложение в ряд

Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид:

{\begin{aligned}\mathrm {Gi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\cos \left({\frac {2k-1}{3}}\pi \right)\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}},\\\mathrm {Hi} (z)&{}={\frac {3^{-{\frac {2}{3}}}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\Gamma \left({\frac {k+1}{3}}\right){\frac {3^{\frac {k}{3}}z^{k}}{k!}}}.\end{aligned}}

Примечания

↑ R. S. Scorer. Numerical evaluation of integrals... (англ.) // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1950. — Vol. 3. — P. 107–112.

Литература

Large-time behavior of solutions of linear dispersive equations

Похожие исследовательские статьи

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Кардина́льный си́нус, sinc — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
$\text{[math]}$
В математике ненормированная функция sinc определяется как
$\text{[math]}$

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Интегральная показательная функция</span>

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом $\text{[math]}$ .

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Функция ошибок — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

\text{[math]}

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

\text{[math]}

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Уравнение Кеплера</span>

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

\text{[math]}

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

\text{[math]}

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Гауссов пучок — пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.

В 1760-х Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено дробью a/b, где a — целое число, а b — ненулевое целое число. В XIX веке Чарльз Эрмит нашел еще одно доказательство, пользуясь только базовыми средствами математического анализа. В дальнейшем Мэри Картрайт, Айвен Нивен и Никола Бурбаки смогли упростить доказательство Эрмита, а Миклош Лацкович упростил доказательство Ламберта.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Дирихле</span>

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.