Функции Скорера (присоединённые функции Эйри) — специальные функции, введённые Р. Скорером в 1950 году[1]. Через них можно представить частные решения неоднородного дифференциального уравнения Эйри:
Частными решениями этого уравнения являются функции: , и .
Функции Скорера можно представить через неберущиеся интегралы:
Для действительного аргумента:
Связь с функциями Эйри
Также функции Скорера могут быть выражены через функции Эйри:
Откуда, очевидно:
Разложение в ряд
Разложения функций Скорера в ряд Маклорена имеют следующий вид:
Примечания
↑R. S. Scorer.Numerical evaluation of integrals... (англ.) // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1950. — Vol. 3. — P. 107–112.
Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Уильям Сили Госсет первым опубликовал работы, посвящённые этому распределению, под псевдонимом «Стьюдент».
Кардина́льный си́нус, sinc — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:
В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
В математике ненормированная функция sinc определяется как
Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:
Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом .
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Функция ошибок — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
.
Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения
Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.
Интегралы ФренеляS(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как
Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:
Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:
Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:
Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:
Гауссов пучок — пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.
Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.
В 1760-х Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число π иррационально, то есть не может быть представлено дробью a/b, где a — целое число, а b — ненулевое целое число. В XIX веке Чарльз Эрмит нашел еще одно доказательство, пользуясь только базовыми средствами математического анализа. В дальнейшем Мэри Картрайт, Айвен Нивен и Никола Бурбаки смогли упростить доказательство Эрмита, а Миклош Лацкович упростил доказательство Ламберта.
В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.