Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.
Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция.
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.
Необходимое условие равномерной сходимости ряда
при
Или, что эквивалентно, где Х - область сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости
Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого , начиная с некоторого номера , при всех , больше либо равных , одновременно для всех значения функций и различались не более, чем на .
Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Преде́лом фу́нкции в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от , такой, что для любого выполняется неравенство .
Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.
Критерий Коши — ряд утверждений в математическом анализе:
Критерий сходимости последовательности — на котором основывается определение полного метрического пространства.
Критерий Коши или число Коши — критерий подобия в механике сплошных сред.
Ме́ра Лебе́га на — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное -мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств.
Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.
Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком .
Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.
Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно.
Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.
Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом и правосторо́нним преде́лом.
Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному.
Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.
Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.
Пусть — произвольное множество, — метрическое пространство, — последовательность функций. Говорят, что последовательность равномерно сходится к функции , если для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство
Малая теорема Фубини — это теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций, которая гласит:
Гармони́ческий ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:
.
Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка .
Неконструктивное доказательство — класс математических доказательств, доказывающих лишь существование в заданном множестве элемента, удовлетворяющего заданным свойствам, но не дающее никакой информации о других свойствах элемента, то есть не позволяющие ни предъявить его, ни приблизительно описать. Доказательства, которые доказывают существование элемента, предъявляя способ получения этого элемента, называются конструктивными.
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.