Функциональный ряд

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве ${\displaystyle \ E}$, включённом в d-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{d}}$.

${\displaystyle \ {u_{k}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,~~E\subseteq \mathbb {R} ^{d},~~k\in \mathbb {N} }$

Функциональная последовательность ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ сходится поточечно к функции ${\displaystyle \ {u}(x)}$, если ${\displaystyle \forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)}$.

Существует функция ${\displaystyle \ u(x):E\mapsto \mathbb {C} }$ такая, что: ${\displaystyle \ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E}$

Факт равномерной сходимости последовательности ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ к функции ${\displaystyle \ u(x)}$ записывается: ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$

${\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}$ — n-ная частичная сумма.

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность ${\displaystyle \ {S_{n}}(x)}$ его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность ${\displaystyle \ {S_{n}}(x)}$ его частичных сумм сходится равномерно.

${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0}$ при ${\displaystyle \ k\rightarrow \infty }$

Или, что эквивалентно ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon }$, где Х - область сходимости.

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, определённых на множестве ${\displaystyle V}$, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, начиная с некоторого номера ${\displaystyle N=N(\varepsilon )}$, при всех ${\displaystyle n,m}$, больше либо равных ${\displaystyle N}$, одновременно для всех ${\displaystyle x\in V}$ значения функций ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и ${\displaystyle f_{m}(x)}$ различались не более, чем на ${\displaystyle \varepsilon }$.

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon }$

Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ называется абсолютно сходящимся, если ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }$ сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ сходится, а ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }$ расходится, то ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{v_{k}}(x)}$ сходится равномерно.
2. ${\displaystyle \ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in \mathbb {N} }$

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда ${\displaystyle \ {v_{k}}(x)=a_{k}}$. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций ${\displaystyle \ {a_{k}}(x)}$ монотонна ${\displaystyle \ \forall x\in E}$ и ${\displaystyle \ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0}$
2. Частичные суммы ${\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}$ равномерно ограничены.

Ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций ${\displaystyle \ {a_{k}}(x)}$ равномерно ограничена и монотонна ${\displaystyle \ \forall x\in E}$.
2. Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}$ равномерно сходится.

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве ${\displaystyle \ E}$

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \ x_{0}}$

Тогда ${\displaystyle \ u(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle \ x_{0}}$.

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}$

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \ x_{0}}$

Тогда ${\displaystyle \ S(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle \ x_{0}}$.

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда числовая последовательность ${\displaystyle \left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}}$ сходится к конечному пределу ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}}$.

Теорема о почленном интегрировании.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда числовой ряд ${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx}$ сходится и равен ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}S(x)dx}$.

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}$ сходится (к конечному пределу)

${\displaystyle \ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)}$ на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда ${\displaystyle \ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)}$ — дифференцируема на ${\displaystyle \ [a,b]}$, ${\displaystyle \ u'(x)=\omega (x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

Теорема о почленном дифференцировании.

${\displaystyle \ \forall k:}$ функция ${\displaystyle \ {u_{k}}(x)}$ дифференцируема на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

${\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}$ сходится

${\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}$ равномерно сходится на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$

Тогда ${\displaystyle \ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)}$ — дифференцируема на отрезке ${\displaystyle \ [a,b]}$, ${\displaystyle \ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}$ на ${\displaystyle \ [a,b]}$

• О.В.Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2004. — 325 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды