В математике функции Веблена — иерархия нормальных функций, строго возрастающих от ординала к ординалу, предложенная Освальдом Вебленом в 1908 году. Если
— это какая-либо нормальная функция, тогда для любого ненулевого ординала
функция
перечисляет общие неподвижные точки всех
для
Все эти функции нормальные.
Иерархия Веблена
В частном случае, когда
, это семейство функций называется иерархией Веблена;
В связи с иерархией Веблена применяется вариация нормальной формы Кантора — любой ненулевой ординал
может быть уникально записан как
где
— некое натуральное число,
и
Таким образом, фундаментальная последовательность для любого ненулевого ординала
может быть определена из выражения
с учётом следующих правил:
- Если
тогда
поскольку
и 
- Если
тогда
и
то есть ![{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)[n]=\varphi _{\beta }^{n}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6f53b022a3ff26cfd50c172ef35e25fa25ba78)
- Если
— предельный ординал, тогда ![{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e9fc66ed912125d18f53bbf205952bafca0c95)
- Если
— предельный ординал, тогда
и ![{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta [n]}(\varphi _{\beta }(\gamma )+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f263b4f7d0d085477d62ddfae1aa299bcd29bd4a)
- Иначе
и
то есть ![{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta }^{n}(\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c4a617f338163ddbdae09b4277d5b3ee178f33)
Примеры
применение правила 2 | применение правила 5 |
---|
![{\displaystyle \varphi _{1}(0)[0]=\varepsilon _{0}[0]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a35d0d702a70a240c6c98a0bd092aa4816a13e3) | ![{\displaystyle \varphi _{1}(1)[0]=\varphi _{1}(0)+1=\varepsilon _{0}+1=\varepsilon _{1}[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a936187c81e4db7234b8f6d7c10f081f8389ee49) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{1}(0)[1]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[0])=\varphi _{0}(0)=\omega ^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3498e3a0b5c9ca531cf7f6a371a449f6c67fff72) | ![{\displaystyle \varphi _{1}(1)[1]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[0])=\varepsilon _{1}[1]=\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f8ca9b8a8566185de89090983b3bfdb1130fba) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{1}(0)[2]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[1])=\omega ^{1}=\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92aef3dfe4613171a5f8ef381fc63512b49f00) | ![{\displaystyle \varphi _{1}(1)[2]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[1])=\varepsilon _{1}[2]=\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec207f99d3f5b90c6d26067c7725a806ac84d4a) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{1}(0)[3]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[2])=\omega ^{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e28c2b283a6bdca1f7916d84fd976573b100d23) | ![{\displaystyle \varphi _{1}(1)[3]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[2])=\varepsilon _{1}[3]=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573a35fd9465a05a77e6bf8c08006fa323a13449) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{1}(0)[4]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(0)[3])=\omega ^{\omega ^{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7577c97b7c3c89236e0acb951698255cff4df2f) | ![{\displaystyle \varphi _{1}(1)[4]=\varphi _{0}(\varphi _{1}(1)[3])=\varepsilon _{1}[4]=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3794a0edb28e7e8799fe502f586fd01ce7c3d678) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{2}(0)[4]=\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(0))))=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}}=\zeta _{0}[4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4014e7150c5b4b16523056dae18a22462c88a552) | ![{\displaystyle \varphi _{2}(1)[4]=\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{1}(\varphi _{2}(0)+1))))=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}}}=\zeta _{1}[4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484355ce96cc8391763b1d7dde3232b3e177b1de) |
---|
![{\displaystyle \varphi _{3}(0)[4]=\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(0))))=\zeta _{\zeta _{\zeta _{\zeta _{0}}}}=\eta _{0}[4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871dae77fec31b1d262876e216369569713e3339) | ![{\displaystyle \varphi _{3}(1)[4]=\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{2}(\varphi _{3}(0)+1))))=\zeta _{\zeta _{\zeta _{\zeta _{\eta _{0}+1}}}}=\eta _{1}[4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42d8acf9a15340bee0292b647d96070fce978ec) |
---|
(правило 1)
(Правила 1 и 3)
(правило 3)
(правило 3)
(правила 1 и 4)
(правило 4)
Соответствующие примеры для быстрорастущей иерархии:
![{\displaystyle f_{\varphi _{1}(0)}(4)=f_{\varphi _{1}(0)[4]}(4)=f_{\omega ^{\omega ^{\omega }}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bb67855157a6901064d4f92151019fcdfdeb72)
![{\displaystyle f_{\varphi _{1}(1)}(3)=f_{\varphi _{1}(1)[3]}(3)=f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7374d5c7f223db2bb6704ae827626ae232e589d9)
Г-функция
Функция Γ перечисляет ординалы
такие что
Наименьший ординал
для которого выполняется это условие, называется ординалом Фефермана[англ.]
Фундаментальная последовательность для него определяется следующими выражениями:
и ![{\displaystyle \Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83121ac5c0e5e474efa62260d9d56a165bb4e7c2)
- Для
верно
и ![{\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582f4f6e8acfd644efff0f0be2cfb35f0f168fd2)
- Если
— предельный ординал и
тогда ![{\displaystyle \Gamma _{\beta }[n]=\Gamma _{\beta [n]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf9d84314dec4868cc4afbe8341311cadeafdb5)
Обобщение
Функция Веблена
также может быть представлена в виде функции
двух аргументов. Веблен показал, как обобщить определение для того, чтобы получить функцию
для произвольного числа аргументов, а именно:
для случая одной переменной,
и- для
— это функция, перечисляющая общие неподвижные точки функций
для всех 
Например,
— это
-я неподвижная точка функций
а именно 
— ординал Фефермана.
— ординал Аккермана.- Предел для
— малый ординал Веблена.
Ссылки
- Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
- Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1407, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51842-8, MR 1026933
- Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 3-540-07911-4, MR 0505313
- Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87943-9, MR 0882549
- Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience", Math. Intelligencer, 4 (4): 182—189, doi:10.1007/BF03023553 contains an informal description of the Veblen hierarchy.
- Veblen, Oswald (1908), "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals", Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280—292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605
- Miller, Larry W. (1976), "Normal Functions and Constructive Ordinal Notations", The Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 439—459, doi:10.2307/2272243, JSTOR 2272243
 |
---|
Числа | |
---|
Функции | |
---|
Нотации | |
---|