Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Главным образом интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны, прошедшей через среду, и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.

Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля ${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,\;t)}$. Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей; тогда ${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,\;t)}$ удовлетворяет волновому уравнению:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u(\mathbf {r} ,\;t)}{\partial t^{2}}}-\Delta u(\mathbf {r} ,\;t)=0,}$

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)=\varepsilon _{0}+\delta \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t),}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — среднее значение диэлектрической проницаемости, ${\displaystyle \delta \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)}$ — флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна. Также с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и неусреднённая диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\;t)=\varepsilon (\mathbf {r} )}$ не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядков больше характерных времён электромагнитного поля, поэтому среда как бы «не успевает среагировать» на изменение поля.

Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нём присутствует случайный параметр ${\displaystyle {\delta \varepsilon (\mathbf {r} )}}$. Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.

Описывая рассеяние, интересны характеристики поля ${\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,\;t)}$, усреднённые по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля ${\displaystyle \langle u(\mathbf {r} ,\;t)\rangle }$ и интенсивность ${\displaystyle I=I(\mathbf {r} ,\;t)}$, которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведётся по флуктуациям диэлектрической проницаемости) ${\displaystyle \langle {u(\mathbf {r} ,\;t)}^{2}\rangle }$. Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усреднённое отклонение от среднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:

${\displaystyle \langle \delta \varepsilon (\mathbf {r} )\rangle =0.}$

Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\;t)=0}$. Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:

${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\;t)=u_{0}\exp[i\mathbf {k_{0}} \mathbf {r} -iwt].}$

Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:

${\displaystyle -{\frac {w^{2}\varepsilon _{0}}{c^{2}}}u(\mathbf {r} ,\;t)+k_{0}^{2}u(\mathbf {r} ,\;t)=0.}$

Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны ${\displaystyle w}$ и волновой вектор ${\displaystyle k_{0}}$ связаны дисперсионным соотношением:

${\displaystyle k_{0}^{2}={\frac {w^{2}\varepsilon _{0}}{c^{2}}}.}$

Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Определим функцию Грина ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\;t)}$. Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения, в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника ${\displaystyle w}$). Полагаем, что источник «адиабатически включился в бесконечно далёком прошлом», для этого дополним правую часть множителем ${\displaystyle \exp[\alpha t]}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — малая положительная величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}G(\mathbf {r} ,\;t)}{\partial t^{2}}}-\Delta G(\mathbf {r} ,\;t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta (\mathbf {r} ).}$

Удобно искать решение этого уравнения в виде ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\;t)=e^{-iwt+\alpha t}G(\mathbf {r} )}$. Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )G(\mathbf {r} )}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}e^{-iwt+\alpha t}}{\partial t^{2}}}-e^{-iwt+\alpha t}\Delta G(\mathbf {r} )=e^{-iwt+\alpha t}\delta (\mathbf {r} ).}$

От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель ${\displaystyle -(w+i\alpha )^{2}}$, тогда получаем уравнение для функции ${\displaystyle G(\mathbf {r} )}$:

${\displaystyle {\frac {-\varepsilon (\mathbf {r} )(w+i\alpha )^{2}}{c^{2}}}G(\mathbf {r} )-\Delta G(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} ).}$

Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ),}$ а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям ${\displaystyle \delta \varepsilon (\mathbf {r} )}$. Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение ${\displaystyle \delta \varepsilon (\mathbf {r} )}$ малой величиной.

Для начала необходимо найти функцию Грина ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\;t)}$, отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемости, то есть ${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}}$:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}G_{0}(\mathbf {r} ,\;t)}{\partial t^{2}}}-\Delta G_{0}(\mathbf {r} ,\;t)=e^{-iwt+\alpha t}\delta (\mathbf {r} ).}$

(1)

Снова ищем решение в виде ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} ,\;t)=e^{-iwt+\alpha t}G_{0}(\mathbf {r} )}$. Тогда ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )}$ удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle -k_{0}^{2}G_{0}(\mathbf {r} )-\Delta G_{0}(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} ),}$

(2)

где величиной ${\displaystyle k_{0}={\frac {{\sqrt {\varepsilon _{0}}}(w+i\alpha )}{c}}}$. Видно, что у ${\displaystyle k_{0}}$ присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение ${\displaystyle (2)}$ удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r} }\,d\mathbf {r} ,}$

(3)

${\displaystyle F(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }\,d\mathbf {k} ,}$

(4)

Выражение ${\displaystyle (3)}$ — прямое Фурье-преобразование, ${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$ — Фурье-образ функции ${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$, выражение ${\displaystyle (4)}$ — обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )}$ будем обозначать через ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {k} )}$. Применяя Фурье-преобразования к уравнению ${\displaystyle (2)}$ и учитывая, что ${\displaystyle \delta }$-функция является Фурье-образом единицы, получаем:

${\displaystyle (k^{2}-k_{0}^{2})G_{0}(\mathbf {k} )=1,}$

(5)

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {k} )={\frac {1}{k^{2}-k_{0}^{2}}}.}$

(6)

Чтобы получить функцию ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )}$, делаем обратное Фурье-преобразование ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {k} )}$:

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,d\mathbf {k} .}$

(7)

Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ (под полярной осью понимается ось, от которой отсчитывается угол ${\displaystyle \theta }$):

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,d\mathbf {k} ={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int \limits _{0}^{\infty }k^{2}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk=}$

${\displaystyle ={\frac {2\pi }{8\pi ^{3}}}\int \limits _{\pi }^{0}\,d\cos \theta \int \limits _{0}^{\infty }k^{2}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{\Bigl [}{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{ikr\cos \theta }}{\Bigr ]}_{\pi }^{0}\,dk=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}{\Bigl (}{\frac {e^{ikr}}{ikr}}-{\frac {e^{-ikr}}{ikr}}{\Bigr )}\,dk={\frac {1}{4\pi ^{2}ir}}{\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{8\pi ^{2}ir}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {ke^{ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk-{\frac {1}{8\pi ^{2}ir}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {ke^{-ikr}}{k^{2}-k_{0}^{2}}}\,dk={\frac {2\pi ie^{ik_{0}r}}{8\pi ^{2}ir2}}+{\frac {2\pi ie^{ik_{0}r}}{8{\pi }^{2}ir2}}={\frac {e^{i{k_{0}}r}}{4\pi r}}.}$

Для вычисления интеграла по сферическим координатам мы воспользовались четностью функции ${\displaystyle {\frac {k(e^{ikr}-e^{-ikr})}{k^{2}-k_{0}^{2}}}}$, а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает ${\displaystyle e^{ikr}}$, тогда вычет берётся в ${\displaystyle k=k_{0}={\frac {{\sqrt {\varepsilon _{0}}}(w+i\alpha )}{c}}}$. Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке ${\displaystyle k=-k_{0}}$, при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Направление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель ${\displaystyle (-1)}$.

Итоговое выражение для функции Грина будет:

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} ,\;t)={\frac {e^{ik_{0}r-iwt+\alpha t}}{4\pi r}}.}$

Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ по мере удаления от источника.

Перепишем уравнение

${\displaystyle -{\frac {\varepsilon (\mathbf {r} )(w+i\alpha )^{2}}{c^{2}}}G(\mathbf {r} )-\Delta G(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} )}$

в виде

${\displaystyle (-k_{0}^{2}-\Delta )G(\mathbf {r} )={\frac {\delta \varepsilon (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}k_{0}^{2}G(\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} ).}$

Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать ${\displaystyle \delta \varepsilon (\mathbf {r} )}$ малой величиной, удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )=G_{0}(\mathbf {r} )+{\frac {{k_{0}}^{2}}{\varepsilon _{0}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1}} )\,dr_{1}.}$

Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )=G_{0}(\mathbf {r} )+{\frac {k_{0}^{2}}{\varepsilon _{0}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )G_{0}(\mathbf {r_{1}} )\,d\mathbf {r_{1}} +}$

${\displaystyle +{\frac {k_{0}^{4}}{\varepsilon _{0}^{2}}}\int G_{0}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{1}} )\int G_{0}(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )\delta \varepsilon (\mathbf {r_{2}} )G_{0}(\mathbf {r_{2}} )\,d\mathbf {r_{1}} \,d\mathbf {r_{2}} +\ldots }$

Величина ${\displaystyle G(\mathbf {r} )}$ — случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднить по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоёмкий шаг.

• Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. — Ч. 2. Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
• Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. — Т. 1, 2. — М.: Мир, 1981.