Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства ${\displaystyle Q}$ от создающих его факторов производства — затрат труда ${\displaystyle L}$ и физического капитала ${\displaystyle K}$.

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

${\displaystyle Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }}$,

где ${\displaystyle A}$ — технологический коэффициент, ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$ — коэффициент эластичности по труду, а ${\displaystyle \beta \geqslant 0}$ — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (${\displaystyle \alpha +\beta }$) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства:

${\displaystyle Q\sim L^{0.73}\times K^{0.27}}$.

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES-функция): ${\displaystyle Q=A[\alpha L^{-\rho }+\beta K^{-\rho }]^{-{\frac {1}{\rho }}}}$, для которой в пределе при ${\displaystyle \rho \rightarrow 0}$ получаем ${\displaystyle Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }}$.

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента ${\displaystyle \lambda }$ в разных секторах экономики. Например, рассмотрев функции для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

${\displaystyle Q_{1}=A\times L_{1}^{\lambda }\times K_{1}^{1-\lambda }}$,

${\displaystyle Q_{2}=A\times L_{2}^{\lambda }\times K_{2}^{1-\lambda }}$,

в сумме не будет получаться ожидаемое:

${\displaystyle Q_{1}+Q_{2}=A\times (L_{1}+L_{2})^{\lambda }\times (K_{1}+K_{2})^{1-\lambda }}$.

Равенство возможно лишь если:

${\displaystyle {\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {K_{1}}{K_{2}}}}$.

В целом, гипотезу, что ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$, можно тестировать на конкретных эмпирических данных.

• Модель Солоу
• Модель Кондратьева
• Функция Леонтьева

• Renshaw, Geoff. Maths for Economics (англ.). — New York: Oxford University Press, 2005. — P. 516—526. — ISBN 0-19-926746-4.