Функция Мангольдта

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Функция Мангольдта — арифметическая функция , равная , если  — степень простого числа, в противном случае . Кратко:

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

  • Из определения следует, что
  • С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

Связь с распределением простых чисел

  • Связь с дзета-функцией Римана :
  • Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:
  • где  — постоянная Эйлера
  • Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта
  • Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

Литература

  • Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.