Функция неопределённости

Функция неопределённости (ФН) — двумерная функция ${\displaystyle {\chi \left(\tau ,f\right)}}$, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на ${\displaystyle {\tau }}$ и по частоте на ${\displaystyle {\Delta f}}$ относительно сигнала ${\displaystyle {s\left(t\right)}}$, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределённости представляет собой корреляционный интеграл

${\displaystyle \chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt}$,

(1)

где * — операция комплексного сопряжения; ${\displaystyle {i}}$ — мнимая единица.

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым ${\displaystyle f\left(t\right)}$ и ожидаемым (оптимальным для фильтра) ${\displaystyle s\left(t\right)}$ сигналом

${\displaystyle y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{f\left(\tau \right)s^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }}$.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг ${\displaystyle \Delta f}$ обусловленный скоростью цели и задаётся выражением ${\displaystyle f\left(t\right)=s\left(t\right)e^{i2\pi \Delta ft}}$. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

${\displaystyle y\left(t\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{s\left(\tau \right)e^{i2\pi \Delta f\tau }s^{*}\left(\tau -t\right)d\tau }}$.

Осуществив замену переменных ${\displaystyle t=\tau }$ и ${\displaystyle \tau =t}$ окончательно можно записать

${\displaystyle \chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)s^{*}(t-\tau )e^{i2\pi \Delta ft}\,dt}$.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения (1), либо его квадрат.

• Максимальное значение ФН находится в точке начала координат ${\displaystyle \left(\tau =0,\Delta f=0\right)}$ и количественно равно ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|\leq \left|\chi \left(0,0\right)\right|=E}$,

где ${\displaystyle E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|s\left(t\right)\right|}^{2}}dt}}$ — энергия сигнала.

• По модулю ФН симметрична относительно начала координат

${\displaystyle \left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|=\left|\chi \left(-\tau ,-\Delta f\right)\right|}$.

• Объём квадрата модуля ФН является постоянным и равен ${\displaystyle {{E}^{2}}}$.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\left|\chi \left(\tau ,\Delta f\right)\right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}}$.

• Если ${\displaystyle S(t)}$ является преобразованием Фурье от сигнала ${\displaystyle s(t)}$, то согласно теореме Парсеваля функция неопределенности может быть представлена в виде

${\displaystyle \chi (\tau ,\Delta f)=\int _{-\infty }^{\infty }S^{*}(f)S(f-\Delta f)e^{-i2\pi f\tau }\,df}$.

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

${\displaystyle \chi (\tau ,\Delta f)=\delta (\tau )\delta (\Delta f)}$,

имеющую бесконечное значение в точке ${\displaystyle (0,0)}$ и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью ${\displaystyle T}$, заданного как

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)}$,

где ${\displaystyle \mathrm {rect()} }$ — прямоугольная функция, на основании выражения (1) имеет вид

${\displaystyle \left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}}\right){\frac {\sin \left(\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T\Delta f\left(1-\left|\tau \right|/T\right)}}\right|}$.

Сечение ФН по оси времени при ${\displaystyle \Delta f=0}$ определяется выражением

${\displaystyle \left|\chi (\tau ,0)\right|={\begin{cases}1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}},&|\tau |\leq T\\0,&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

Сечение ФН по оси частот при ${\displaystyle \tau =0}$ определяется выражением

${\displaystyle \left|\chi (0,\Delta f)\right|=\left|{\frac {\sin(\pi T\Delta f)}{\pi T\Delta f}}\right|}$.

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)e^{i\pi \mu t^{2}}}$,

где ${\displaystyle \mu =\pm {B}/{T}}$ — крутизна ЛЧМ; ${\displaystyle B}$ — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

${\displaystyle \left|\chi (\tau ,\Delta f)\right|=\left|\left(1-{\frac {\left|\tau \right|}{T}}\right){\frac {\sin \left(\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)\right)}{\pi T(\Delta f\pm B({\tau }/{T}))\left(1-\left|\tau \right|/T\right)}}\right|}$,

при ${\displaystyle \left|\tau \right|\leq T}$.

1. Дудник, П. И. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС / П. И. Дудник, Г. С. Кондратенков, Б. Г. Татарский, А. Р. Ильчук, А. А. Герасимов. Под ред. П. И. Дудника. — М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2006. — 1112 с. — ISBN 5-903111-15-7.
2. Лёзин, Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.