Характер представления группы

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении^[1]^[2].

Обычно обозначаются буквой $\chi$ ^[3].

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Определение

Если $f$ — конечномерное представление группы $G$ , то характер этого представления — это функция из $G$ во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу $G$ . Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

Характеры эквивалентных представлений совпадают^[2].
Изоморфные представления имеют одинаковые характеры^[4].
Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций^[2]^[5].
Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице^[2].
Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются^[2]^[4].
Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны^[2]^[6].
Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы^[7].
У взаимно-сопряжённых элементов группы $a$ и $b^{-1}ab$ характеры равны^[7].
Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов^[7].
Для любого элемента группы $a\in G$ $\chi (a^{-1})={\overline {\chi (a)}}$ ^[8].
Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен $1$ ^[9].

Примечания

↑ Ван дер Варден, 2004, с. 62.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Любарский, 1958, с. 56.
↑ Головина, 1975, с. 366.
↑ ¹ ² Головина, 1975, с. 367.
↑ Головина, 1975, с. 369.
↑ Ван дер Варден, 2004, с. 64.
↑ ¹ ² ³ Любарский, 1958, с. 57.
↑ Головина, 1975, с. 368.
↑ Головина, 1975, с. 372.

Литература

Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М.: Наука, 1958. — 354 с.
Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с.
Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1975. — 407 с.

Похожие исследовательские статьи

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

Изоморфи́зм — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Характер, это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных характеров на обратимых элементах $\text{[math]}$ . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если $\text{[math]}$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

\text{[math]}

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Лине́йная форма, лине́йный функционал — линейное отображение, действующее из векторного пространства $\text{[math]}$ над полем $\text{[math]}$ в поле $\text{[math]}$ . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

\text{[math]}

\text{[math]}

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если $\text{[math]}$ — группа, то характер — это гомоморфизм из $\text{[math]}$ в мультипликативную группу поля.

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Неприводимое представление $\text{[math]}$ алгебраической структуры $\text{[math]}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления $\text{[math]}$ , замкнутого по $\text{[math]}$ .

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Двойственность Понтрягина — обобщение преобразования Фурье на локально компактные абелевы группы.

Редуктивная группа — алгебраическая группа $\text{[math]}$ , для которой унипотентный радикал её компоненты единицы $\text{[math]}$ является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

\text{[math]}

В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде

\text{[math]}

В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна, а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп.

L-функция Артина — это вид ряда Дирихле, связанный с представлением $\text{[math]}$ группы Галуа $\text{[math]}$ расширения числового поля. Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином, в связи с его работой в теории полей классов. Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L-функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса. До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.

Таблица характеров — двумерная таблица, строки которой соответствуют неприводимым представлениям группы, а столбцы которой соответствует классам сопряжённости элементов группы. Элементы матрицы состоят из характеров, следов матриц, представляющих группу элементов класса столбца в определяемом строкoй представлении группы.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.