Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

Для данной матрицы ${\displaystyle A}$ многочлен ${\displaystyle \chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, является многочленом от ${\displaystyle \lambda }$, который называется характеристическим многочленом матрицы ${\displaystyle A}$ (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение ${\displaystyle Av=\lambda v}$ имеет ненулевое решение, то ${\displaystyle (A-\lambda E)v=0}$, значит матрица ${\displaystyle A-\lambda E}$ вырождена и её определитель ${\displaystyle \det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )}$ равен нулю.

• Матрицу ${\displaystyle A-\lambda E}$ называют характеристической матрицей матрицы ${\displaystyle A}$.
• Уравнение ${\displaystyle \chi (\lambda )=0}$ называют характеристическим уравнением матрицы ${\displaystyle A}$.
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

• Для матрицы ${\displaystyle n\times n}$ характеристический многочлен имеет степень ${\displaystyle n}$.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если ${\displaystyle \chi (\lambda )}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle \chi (A)=0}$.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: ${\displaystyle \chi _{ABA^{-1}}=\chi _{B}}$.
• Характеристический многочлен обратной матрицы: ${\displaystyle \chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )}$.

Доказательство:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}-\lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E)\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\end{aligned}}}$

• Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — две матрицы ${\displaystyle n\times n}$, то ${\displaystyle \chi _{AB}\,=\,\chi _{BA}}$. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения ${\displaystyle \mathrm {tr} \,(AB)=\mathrm {tr} \,(BA)}$ и ${\displaystyle \det(AB)=\det(BA)}$.
• В более общем виде, если ${\displaystyle A}$ — матрица ${\displaystyle m\times n}$, а ${\displaystyle B}$ — матрица ${\displaystyle n\times m}$, причем ${\displaystyle m<n}$, так, что ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ — квадратные матрицы размеров ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, то:

${\displaystyle \chi _{BA}(\lambda )\,=\,\lambda ^{n-m}\,\chi _{AB}(\lambda )}$.

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. Высшая математика. Линейная алгебра. — Ивановский государственный энергетический университет. Архивная копия от 23 декабря 2008 на Wayback Machine