Хи-функция Лежандра

Хи-функция Лежандра — это специальная функция, названная по имени французского математика Адриен Мари Лежандра. Хи-функция Лежандра определяется рядом Тейлора также являющимся рядом Дирихле:

\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.

Таким образом Хи-функция Лежандра тривиально выражается через полилогарифм:

\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]

Хи-функция Лежандра возникает в дискретном преобразовании Фурье, по индексу ν дзета-функции Гурвица, а также многочленов Эйлера.

Хи-функция Лежандра является частным случаем дзета-функции Лерха^[англ.]:

\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).

Литература

Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
Djurdje Cvijović. "Integral representations of the Legendre chi function" (англ.) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2006. — Vol. 2, no. 332. — P. 1056-1062. — ISSN 0022247X.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Legendre's Chi Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

L-функция Дирихле $\text{[math]}$ — комплексная функция, заданная при $\text{[math]}$ формулой

\text{[math]}

Распределе́ние $\text{[math]}$ (хи-квадра́т) с $\text{[math]}$ степеня́ми свобо́ды — распределение суммы квадратов $\text{[math]}$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $\text{[math]}$ в пространстве $\text{[math]}$ . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\text{[math]}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Рядом Дирихле называется ряд вида

\text{[math]}

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

<span class="mw-page-title-main">Карацуба, Анатолий Алексеевич</span> советский и российский математик

Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба — советский и российский математик. Создатель первого быстрого метода в истории математики — метода умножения больших чисел.

Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается $\text{[math]}$ и является частным случаем полилогарифма $\text{[math]}$ при $\text{[math]}$ . Дилогарифм определяется как

\text{[math]}

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле, а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана.

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

\text{[math]}

В математике Дзета-функция Гурвица, названная в честь Адольфа Гурвица, — это одна из многочисленных дзета-функций, являющихся обобщениями дзета-функции Римана. Формально она может быть определена степенным рядом для комплексных аргументов s, при Re(s) > 1, и q, Re(q) > 0:

\text{[math]}

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая $\text{[math]}$ и определяемая как бесконечный степенной ряд

\text{[math]}

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Функция Вебера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Функция Ломмеля — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией $\text{[math]}$ . Они могут быть явным образом представлены как

\text{[math]}

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.