Хребтовая функция

Хребтовая функция — функция комплексного переменного, модуль которой в каждой точке некоторого интервала мнимой оси больше или равен модулю функции во всех точках прямой, параллельной действительной оси. Понятие хребтовой функции и изучение её свойств впервые провёл Дюге^[1].

Определение

Функция комплексного переменного $z$ , определённая и аналитическая в области $D$ , содержащей интервал $\left(ia,ib\right)$ мнимой оси $a<b$ называется хребтовой в $D$ вдоль интервала $\left(ia,ib\right)$ мнимой оси, если для всех $z=x+iy\in D,y\in \left(a,b\right)$ верно нерваенство $\left|f(x+iy)\right|\leq \left|f(iy)\right|$ ^[2].

Свойства

Если функция $f\not \equiv 0$ , хребтовая в $D$ , то:

функция $\arg f(iy)$ постоянна для всех $y\in \left(a,b\right)$ .
функция $\ln \left|f(iy)\right|$ выпукла для всех $y\in \left(a,b\right)$ (Теорема Дюге).

Примечания

↑ Dugue, D. Analycite et convexite des fonctions caracteristiques // Ann. Inst. H. Poincare — 1951. — V. 12. — С. 45—46.
↑ Теория характеристических функций, 1975, с. 12.

Литература

Рамачандран Б. / Пер. с англ. С. Г. Малошевского и Б. П. Тимофеева ; Под ред. В. В. Петрова. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.

Похожие исследовательские статьи

Логари́фм числа $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание $\text{[math]}$ , чтобы получить число $\text{[math]}$ . Обозначение: $\text{[math]}$ , произносится: «логарифм $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ ».

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

<span class="mw-page-title-main">Показательная функция</span> математическая функция a^x

Показательная функция — математическая функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ называется основанием степени, а $\text{[math]}$ — показателем степени.

В вещественном случае основание степени $\text{[math]}$ — некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — $\text{[math]}$ , введена Лейбницем в 1695 г.

Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии для вычисления одних элементов треугольника по данным о других его элементах.

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Экспоне́нта — показательная функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — число Эйлера.

Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

\text{[math]}

где параметр

\text{[math]}

— математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр

\text{[math]}

— среднеквадратическое отклонение,

\text{[math]}

— дисперсия распределения.

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

<span class="mw-page-title-main">Мнимая единица</span> комплексное число, квадрат которого равен −1

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен $\text{[math]}$ . В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой $\text{[math]}$ , в электротехнике — буквой $\text{[math]}$ .

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $\text{[math]}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или иногда просто $\text{[math]}$ , если основание $\text{[math]}$ подразумевается. Обычно число $\text{[math]}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

<span class="mw-page-title-main">Возведение в степень</span> математическая операция

Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием $\text{[math]}$ и натуральным показателем $\text{[math]}$ обозначается как

\text{[math]}

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

<span class="mw-page-title-main">Интегральная показательная функция</span>

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом $\text{[math]}$ .

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус
арккосинус
арктангенс
арккотангенс
арксеканс
арккосеканс

Кратный интеграл — определённый интеграл, взятый от $\text{[math]}$ переменных; например:

\text{[math]}

Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости $\text{[math]}$ , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой, которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии.

Сопряжённые числа — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями. Например, сопряжёнными являются числа $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Число, сопряжённое к числу $\text{[math]}$ , обозначается $\text{[math]}$ . В общем случае, сопряжённым к числу $\text{[math]}$ является $\text{[math]}$ .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.