Центр Шпикера
Центр Шпикера | |
---|---|
![]() Центр Шпикера есть инцентр серединного треугольника | |
Барицентрические координаты | |
Трилинейные координаты | |
Код ЭЦТ | X(10) |
Связанные точки | |
Антидополнительная[исп.] | центр вписанной окружности |
Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки, проходящей по периметру треугольника[1][2].
Точка названа в честь немецкого геометра XIX века Теодора Шпикера[англ.][3]. В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга указана как X(10)[4].
Свойства


- Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника[1]. То есть центр Шпикера является центром окружности, вписанной в серединный треугольник (в его дополнительный треугольник)[5]. Эта окружность известна как окружность Шпикера[англ.].
- Центр Шпикера является центром кливеров треугольника [1]. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера . (Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)
- Центр Шпикера, инцентр (), центроид () и точка Нагеля () треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того[6],
- Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника.
- Центр Шпикера является точкой пересечений прямых , и , где , и — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника снаружи, имеющие один и тот же угол у основания [7].
- Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых , и , где , и — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника снаружи, имеющие один и тот же угол у основания .
- Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей[8].
- трилинейные координаты точки [4]: .
- Барицентрические координаты центра Шпикера[4]:
- .
Примечания
- ↑ 1 2 3 Honsberger, 1995, с. 3–4.
- ↑ Kimberling, Clark Spieker center . Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 16 мая 2012 года.
- ↑ Spieker, 1888.
- ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers . Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 24 ноября 2015 года.
- ↑ Серединный треугольник данного называют дополнительным треугольником треугольника ABC
- ↑ A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 10 мая 2012 года.
- ↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Odenhal, 2010, с. 35–40.
Литература
- Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
- Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
- Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.