Чирп-алгоритм

Чирп-алгоритм (алгоритм Блюстейна) — алгоритм вычисления быстрого преобразования Фурье, заключающийся в сведении вычисления дискретного преобразования Фурье к вычислению свёртки.

Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \omega =e^{-{\frac {2\pi i}{n}}}}$, ${\displaystyle \beta =\omega ^{-{\frac {1}{2}}}}$ формула алгоритма выводится из формулы для дискретного преобразования Фурье сигнала ${\displaystyle x}$ к сигналу ${\displaystyle X}$ следующим образом^[1]:

${\displaystyle X(k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}x(j)\omega ^{kj}=\sum \limits _{j=0}^{n-1}x(j)\beta ^{-2kj}=\beta ^{-k^{2}}\sum \limits _{j=0}^{n-1}\beta ^{(j-k)^{2}}{\bigg (}\beta ^{-j^{2}}x(j){\bigg )},\;k=0,\ldots ,n-1}$.

С использованием обозначений ${\displaystyle a(j)=x(j)\beta ^{-j^{2}}}$, ${\displaystyle b(j)=\beta ^{j^{2}}}$ можно переписать эту формулу в более компактном виде:

${\displaystyle X(k)=b^{*}(k)\left(a*b\right),\;k=0,\ldots ,n-1}$.

Здесь верхний индекс ${\displaystyle ^{*}}$ означает комплексное сопряжение, а символ ${\displaystyle *}$ — свёртку. Величины ${\displaystyle b(j)}$ называются чирпом (англ. chirp).

Алгоритм содержит ${\displaystyle n}$-точечную свёртку, вычисление которой требует ${\displaystyle O(n^{2})}$ операций, и ${\displaystyle 2n}$ дополнительных умножений, то есть полное число операций имеет порядок ${\displaystyle O(n^{2})}$, поэтому алгоритм Блюстайна асимптотически не эффективнее прямого вычисления преобразования Фурье. Однако в некоторых приложениях он допускает более простую аппаратурную реализацию. Более того, прямое вычисление свёртки можно заменить быстрыми алгоритмами^[2].

• Блейхут Р.. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (рус.). — М.: Мир, 1989. — 448 с.