Числа трибоначчи

Перейти к навигации Перейти к поиску

Чи́сла трибона́ччи — последовательность целых чисел $\left\{t_{n}\right\}$ , заданная с помощью линейного рекуррентного соотношения:

t_{0}=0,\quad t_{1}=0,\quad t_{2}=1,\quad t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_{n}

Название является вариацией «чисел Фибоначчи» — с добавкой «три» (лат. tri-), обозначающей количество суммируемых чисел.

Последовательность чисел трибоначчи начинается так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (последовательность A000073 в OEIS)

Свойства

При ${n\to \infty }$ отношение соседних членов ${\tfrac {t_{n+1}}{t_{n}}}$ стремится к константе трибоначчи $C$ — действительному корню характеристического уравнения $x^{3}-x^{2}-x-1=0.$ Это число можно выразить в радикалах: $C={\frac {1}{3}}\left[1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right]=1{,}839286755\ldots$

Десятичные цифры образуют последовательность A058265 в OEIS. Сопряжённые ему числа равны

{\begin{alignedat}{2}C_{2,~3}&={\frac {1}{6}}\left[2-{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\pm i{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)\right]\\&\approx 0{,}4196\pm 0{,}6063i.\\\end{alignedat}}

Любой член ряда трибоначчи можно определить из соотношения, аналогичного формуле Бине для чисел Фибоначчи. $t_{n}={\frac {C^{n+2}}{(C-C_{2})(C-C_{3})}}+{\frac {C_{2}^{n+2}}{(C-C_{2})(C_{3}-C_{2})}}+{\frac {C_{3}^{n+2}}{(C-C_{3})(C-C_{3})}}.$ ^[1]

Причём модули чисел

C_{2,~3}

меньше единицы, а значит, с возрастанием n последние два слагаемых становятся всё меньше по модулю и приближаются к нулю, так что при натуральных n

$t_{n}=\left\lfloor {\frac {3bC^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil ,$ ^[2]

где

b=\left(586+102{\sqrt {33}}\right)^{1/3}

, а

\lfloor \cdot \rceil

— округление до ближайшего целого.

См. также

Обобщение чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи

Примечания

↑ W. R. Spickerman. PDF-файл числах трибоначчи (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 17 мая 2021 года.
↑ Simon Plouffe (неопр.). plouffe.fr. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 6 мая 2021 года.

Ссылки

Рекуррентное соотношение Архивная копия от 30 августа 2007 на Wayback Machine

Похожие исследовательские статьи

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Числа Фибоначчи</span> элементы числовой последовательности

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …,

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

В математике, целая часть вещественного числа $\text{[math]}$ — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье, или пол. Наряду с полом существует парная функция — потолок — округление $\text{[math]}$ до ближайшего целого в большую сторону.

Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что для любого натурального $\text{[math]}$ найдётся простое число $\text{[math]}$ в интервале $\text{[math]}$

Биномиа́льный коэффицие́нт — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона $\text{[math]}$ по степеням $\text{[math]}$ . Коэффициент при $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ и читается «биномиальный коэффициент из $\text{[math]}$ по $\text{[math]}$ » :

\text{[math]}

Рекуррентная формула — формула вида $\text{[math]}$ , выражающая каждый член последовательности $\text{[math]}$ через $\text{[math]}$ предыдущих членов и номер члена последовательности $\text{[math]}$ .

Числа Люка́ — элементы линейной рекуррентной последовательности, заданной формулой:

\text{[math]}

Алгоритм Лемана детерминировано раскладывает данное натуральное число $\text{[math]}$ на множители за $\text{[math]}$ арифметических операций. Алгоритм был впервые предложен американским математиком Шерманом Леманом в 1974 году. Данный алгоритм был первым детерминированным алгоритмом факторизации целых чисел, имеющим оценку меньшую, чем $\text{[math]}$ . В настоящий момент носит чисто исторический интерес и, как правило, не используется на практике.

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Длинная арифметика — выполняемые с помощью вычислительной машины арифметические операции над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, с использованием базовых аппаратных средств работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.

<span class="mw-page-title-main">Функция распределения простых чисел</span>

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\text{[math]}$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x. Она обозначается $\text{[math]}$ .

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: $\text{[math]}$ , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Простое число Ньюмена — Шэнкса — Уильямса (NSW-простое) — простое число, которое можно записать в виде:

\text{[math]}

, где

\text{[math]}

В теории чисел квадратным треугольным числом называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Разложение Энгеля положительного вещественного числа x — это единственная неубывающая последовательность положительных натуральных чисел $\text{[math]}$ , таких что

\text{[math]}

В математике таблица Витхоффа — бесконечная целочисленная матрица, полученная из последовательности Фибоначчи и названная в честь голландского математика Виллема Абрахама Витхоффа. Была определена математиком Моррисоном в 1980 году на основе пар Витхоффа, координат выигрышных позиций в игре Витхоффа; может также быть определена с помощью чисел Фибоначчи и теоремы Цекендорфа или непосредственно через золотое сечение и рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи. Каждое положительное целое число встречается в таблице ровно один раз, и путём сдвига строк таблицы можно получить любую целочисленную последовательность, определяемую рекуррентным соотношением Фибоначчи.

Целочисленный квадратный корень (isqrt) натурального числа n — это положительное число m, которое равно наибольшему целому числу, меньшему либо равному квадратному корню из n,

\text{[math]}

Числа Фибоначчи образуют определённую с помощью рекурсии последовательность

\text{[math]}

\text{[math]}

\text{[math]}

для целого числа

\text{[math]}

В информатике метод Акра–Баззи, или теорема Акра–Баззи, используется для анализа асимптотического поведения математических рекуррент, которые появляются при анализе алгоритмов «разделяй и властвуй», где подзадачи имеют существенно разные размеры. Это обобщение основной теоремы для рекуррентных уравнений «разделяй и властвуй», которая предполагает, что подзадачи имеют одинаковый размер. Он наназван в честь математиков Мохамада Акры и Луая Баззи.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.