Число Линделёфа

Число Линделёфа — один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство: наименьший кардинал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, такой, что из каждого открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ можно выбрать подпокрытие мощности не больше ${\displaystyle m}$^[1]. Стандартное обозначение — ${\displaystyle l(X)}$.

Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства ${\displaystyle X}$ равно ${\displaystyle \aleph _{0}}$, то ${\displaystyle X}$ называют линделёфовым пространством.

Число Линделёфа пространства ${\displaystyle X}$ не выше его сетевого веса (${\displaystyle l(X)\leqslant nw(X)}$)^[1]. Мощность хаусдорфова пространства ${\displaystyle X}$ не больше, чем ${\displaystyle 2^{l(X)*\chi (X)}}$, где ${\displaystyle \chi (X)}$ — характер топологического пространства ${\displaystyle X}$^[2].

Числа Линделёфа некоторых пространств:

• ${\displaystyle l(\mathbb {R} ^{n})=\aleph _{0}}$ (лемма Линделёфа);
• ${\displaystyle l(L)=2^{\aleph _{0}}}$ (${\displaystyle L}$ — плоскость Немыцкого);
• ${\displaystyle l(J({\mathfrak {m}}))={\mathfrak {m}}}$ (${\displaystyle J({\mathfrak {m}})}$ — ёж колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$);
• ${\displaystyle l(\mathbb {S} )=\aleph _{0}}$ (${\displaystyle \mathbb {S} }$ — прямая Зоргенфрея);
• ${\displaystyle l(\mathbb {S} ^{2})={\mathfrak {c}}}$ (число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму).

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 290—293. — 752 с.