Шестисотячейник

Шестисотячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестисотячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,5}
Ячеек	600
Граней	1200
Рёбер	720
Вершин	120
Вершинная фигура	Икосаэдр
Двойственный политоп	Стодвадцатиячейник

Пра́вильный шестисотяче́йник, или просто шестисотяче́йник^[1], или гекзакосихор (от др.-греч. ἑξἀκόσιοι — «шестьсот» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Двойственен стодвадцатиячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.

Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ }.}$

Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.

Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.

Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• 8 из его вершин имели координаты ${\displaystyle (\pm 2;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 2;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;\pm 2;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;\pm 2)}$ (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника);

• ещё 16 вершин — координаты ${\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)}$ (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника);

• координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел ${\displaystyle (\pm \Phi ;\pm 1;\pm \Phi ^{-1};0),}$ где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхъячейника).

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ будет центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Если шестисотячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 26{,}4754249a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}=50{\sqrt {2}}a^{3}\approx 70{,}7106781a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.}$

• Weisstein, Eric W. Шестисотячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.