Шестиугольное число

Шестиугольное число — фигурное число. n-ое шестиугольное число — число точек в состоящем из них правильном шестиугольнике со стороной в n точек.

Формула для n-го шестиугольного числа:

${\displaystyle h_{n}=n(2n-1)}$

Последовательность шестиугольных чисел начинается так^[1]:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, …

• Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но лишь треугольные числа с нечётным номером (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и треугольныe, шестиугольные числа делятся на 9 с остатком 0, 1, 3 или 6.

• Каждое чётное совершенное число (полученное по формуле ${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}(M_{p}+1)/2=h_{(M_{p}+1)/2}}$, где M_p — простое число Мерсенна) является шестиугольным. Так как ни одно нечетное совершенное число до сих пор не найдено^[2][3], все известные совершенные числа — шестиугольные.

• n-ое шестиугольное число можно записать в виде суммы:

  ${\displaystyle h_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}{(4i+1)}}$

Проверить, является ли натуральное число x шестиугольным, можно с помощью вычисления

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

Если n целое, то x является n-м шестиугольным числом. Если n не целое, то x шестиугольным не является.

• Центрированные шестиугольные числа

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

• Фигурные числа
• Figurate Numbers на сайте MathWorld (англ.)