Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.
Для вещественной или комплексной матрицы
размера
экспонента от
, обозначаемая как
или
, — это матрица
, определяемая степенным рядом:
,
где
— k-я степень матрицы
. Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от
всегда корректно определена.
Если
— матрица размера
, то матричная экспонента от
есть матрица размерности
, единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента
.
Свойства
Основные свойства
Для комплексных матриц
и
размера
, произвольных комплексных чисел
и
, единичной матрицы
и нулевой матрицы
, экспонента обладает следующим свойствами:
;
;
;- если
, то
; - если
— невырожденная матрица, то
.
, где
обозначает транспонированную матрицу для
, отсюда следует, что если
является симметричной, то
тоже симметрична, а если
— кососимметричная матрица, то
— ортогональная;
, где
обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для
, отсюда следует, что если
— эрмитова матрица, то
тоже эрмитова, а если
— антиэрмитова матрица, то
— унитарная
, где
— след матрицы
.
Системы линейных дифференциальных уравнений
Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:
,
где
— постоянная матрица, даётся выражением:

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида
.
Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида
,
где
— не постоянная, но разложение Магнуса[англ.] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.
Экспонента суммы
Для любых двух вещественных чисел (скаляров)
и
экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению
, это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы
и
коммутируют (то есть
), то
. Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления
используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.
В общем случае из равенства
не следует, что
и
коммутируют.
Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.
Неравенство Голдена — Томпсона
Если
и
— эрмитовы матрицы, то[2]:
,
Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а
не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц
,
и
.
Теорема Либа
Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа[англ.], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы
, функция:

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].
Экспоненциальное отображение
Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к
матрица равна
, это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

из пространства всех матриц размерности
на полную линейную группу порядка
, то есть группу всех невырожденных матриц размерности
. Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел
, а не вещественных чисел
).
Для любых двух матриц
и
имеет место неравенство
,
где
обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах
.
Отображение:

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при
.
Приложения
Линейные дифференциальные уравнения
Пример однородной системы
Для системы:

её матрица есть:

Можно показать, что экспонента от матрицы
есть

таким образом, общее решение этой системы есть:

Пример неоднородной системы
Для решения неоднородной системы:

вводятся обозначения:
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a866884769332fa1a366783b9a1d1955f7dc05)
и

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:




где
— начальное условие.
Обобщение: вариация произвольной постоянной
В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде:
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade2a91c46e5fb7cec318107f6f7e4c99a7fe943)
Чтобы
было решением, должно иметь место следующее:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f09b0f45bee4e56ae6c7ecc9200f3d2b5d6953)
Таким образом:

где
определяется из начальных условий задачи.
См. также
Примечания
- ↑ Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 544—547. — 560 с.
- ↑ Bhatia, R. Matrix Analysis (неопр.). — Springer, 1997. — Т. 169. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94846-1.
- ↑ E. H. Lieb. Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture (англ.) // Adv. Math. : journal. — 1973. — Vol. 11, no. 3. — P. 267—288. — doi:10.1016/0001-8708(73)90011-X.
Ссылки