Эластичность замещения

Эластичность замещения — применяемый в экономической теории показатель, характеризующий производственную функцию или функцию полезности, и показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства (или соответственно, объемов различных благ) при изменении их предельной нормы замещения на 1 % (отношение предельных продуктов или предельных полезностей соответственно), чтобы объём выпуска оставался неизменным.

Пусть задана функция ${\displaystyle Y(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Это обычно либо производственная функция от факторов ${\displaystyle x_{i}}$, либо функция полезности от объемов потребления благ ${\displaystyle x_{i}}$. Далее изложение приводится для случая производственной функции.

Обозначим ${\displaystyle MRTS_{ij}}$ — предельную норму замещения ${\displaystyle j}$-го фактора ${\displaystyle i}$-м фактором, а ${\displaystyle k_{ij}}$ — отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {d\ln k_{ij}}{d\ln MRTS_{ij}}}|_{Y=const}={\frac {dk_{ij}/k_{ij}}{dMRTS_{ij}/MRTS_{ij}}}|_{Y=const}={\frac {dk_{ij}}{dMRTS_{ij}}}{\frac {MRTS_{ij}}{k_{ij}}}|_{Y=const}}$

При этом можно показать, что ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$.

Можно показать, что эластичность замещения равна:

${\displaystyle \sigma ={\frac {(1+k_{ij}MRTS_{ij})Y'_{j}/x_{i}}{Y''_{jj}MRTS_{ij}+Y''_{ii}/MRTS_{ij}-2Y''_{ij}}}}$

В случае однородных производственных функций она существенно упрощается:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Y'_{i}Y'_{j}}{(1-q)Y'_{i}Y'_{j}+qYY''_{ij}}}}$

где ${\displaystyle q}$ — степень однородности.

В частности для стандартного случая однородности первой степени (линейной однородности) формула имеет следующий простой вид:

${\displaystyle \sigma ={\frac {Y'_{i}Y'_{j}}{Y\cdot Y''_{ij}}}}$

• Функция Кобба — Дугласа ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{\beta }}$ — эластичность замещения равна ${\displaystyle 1}$ (для доказательства достаточно учесть, что эта функция является однородной степени ${\displaystyle q=\alpha +\beta }$ и воспользоваться соответствующей формулой).
• Функция CES — имеет произвольную (то есть не обязательно единичную, как в случае функции Кобба — Дугласа) постоянную эластичность замещения.
• Производственная функция Леонтьева — нулевая эластичность замещения.
• Линейная производственная функция — бесконечная эластичность замещения.

• Предельная норма технического замещения
• Эластичность (экономика)
• Функция CES