Элементы Юнга — Юциса — Мёрфи

Элементы Юнга — Юциса — Мёрфи (также элементы Юциса — Мёрфи) — элементы групповой алгебры $\mathbb {C} [S_{n}]$ симметрической группы $S_{n}$ , определяемые^[1] как суммы транспозиций:

X_{i}=(1\ i)+(2\ i)+\dots +(i-1\ i).

Элементы попарно коммутируют (более того, элемент $X_{n}$ коммутирует со всеми элементами подалгебры $\mathbb {C} [S_{n-1}]$ ), и порождают максимальную коммутативную подалгебру $\mathbb {C} [S_{n}]$ — алгебру Гельфанда — Цейтлина.

Для любого неприводимого представления симметрической группы, базис, в котором эти элементы одновременно диагонализуются — базис Юнга; при этом, собственные подпространства для действия элемента $X_{n}$ оказываются неприводимыми подпредставлениями $S_{n-1}$ , причём отвечающие им собственные значения равны содержаниям выбрасываемых (при переходе к соответствующему подпредставлению подгруппы $S_{n-1}$ ) угловых клеток диаграммы Юнга.^[2]^[3]

Ссылки

↑ А. М. Вершик, Н. В. Цилевич, «О преобразовании Фурье на бесконечной симметрической группе», Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. XII, Зап. научн. сем. ПОМИ, 325, ПОМИ, СПб., 2005, 61-82
↑ А. М. Вершик, А. Ю. Окуньков, «Новый подход к теории представлений симметрических групп. II», Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. X, Зап. научн. сем. ПОМИ, 307, ПОМИ, СПб., 2004, 57-98
↑ A. Okounkov, Random Matrices and Random Permutations Архивная копия от 4 апреля 2019 на Wayback Machine, pp. 27-30

Похожие исследовательские статьи

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $\text{[math]}$ относительно операции композиции.

Алгебра над полем — векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Неприводимое представление $\text{[math]}$ алгебраической структуры $\text{[math]}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления $\text{[math]}$ , замкнутого по $\text{[math]}$ .

Тождество Капелли — аналог матричного соотношения $\text{[math]}$ для дифференциальных операторов с некоммутирующими элементами, связанных с представлением алгебры Ли $\text{[math]}$ . Используется для соотнесения инварианта $\text{[math]}$ с инвариантом $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — это $\text{[math]}$ -процесс Кэли. Названо по имени Альфредо Капелли, установившего этот результат в 1887 году.

<span class="mw-page-title-main">Вершик, Анатолий Моисеевич</span>

Анатолий Моисеевич Вершик — советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В. А. Стеклова, президент Санкт-Петербургского математического общества с 1998 по 2008 годы. Член Европейской академии наук (2015).

Инвариант Казимира — примечательный элемент центра универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли. Назван по имени голландского физика Хендрика Казимира. Примером является квадрат оператора момента импульса, который является инвариантом Казимира трёхмерной группы вращений. Операторы Казимира группы Пуанкаре имеют глубокий физический смысл, так как с их помощью определяются понятия массы и спина элементарных частиц.

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $\text{[math]}$ -разлагающими.

Диаграммы Юнга — наглядный способ описания представлений симметрических и полных линейных групп и изучения их свойств.

Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Коприсоединённое представление $\text{[math]}$ группы Ли $\text{[math]}$ — это представление, сопряжённое к присоединённому. Если $\text{[math]}$ — алгебра Ли группы $\text{[math]}$ , соответствующее действие $\text{[math]}$ на пространстве $\text{[math]}$ , сопряжённом к $\text{[math]}$ , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на $\text{[math]}$ .

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.

<span class="mw-page-title-main">Структурные константы</span>

В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.

Подалгебра Картана — нильпотентная подалгебра Ли $\text{[math]}$ , равная своему нормализатору:

$\text{[math]}$ для некоторого $\text{[math]}$ (нильпотентность),
$\text{[math]}$ (самонормализованность).

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Полупростая алгебра Ли — алгебра Ли, являющаяся прямой суммой простых алгебр Ли, то есть неабелевых алгебр Ли без нетривиальных идеалов.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.