Эпиморфизм

Перейти к навигации Перейти к поиску

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $m:A\to B$ , такой что из всякого равенства $f\circ m=h\circ m$ следует $f=h$ (другими словами, на $m$ можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфизм, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный гомоморфизм групп или графов. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм $j:Y\to X$ , такой что $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ , то легко проверить, что $m$ — эпиморфизм, домножив равенство $f\circ m=h\circ m$ на $j$ справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция $m\circ j$ двух морфизмов — эпиморфизм, то $m$ должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, $m$ является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: $m:X\to Y$ — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix}}

инъективно для всех $Z$ .

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.

Похожие исследовательские статьи

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

\text{[math]}

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

<span class="mw-page-title-main">Инъекция (математика)</span> отображение, переводящее различные элементы в различные

Инъе́кция в математике — отображение $\text{[math]}$ множества $\text{[math]}$ во множество $\text{[math]}$ , при котором разные элементы множества $\text{[math]}$ переводятся в разные элементы множества $\text{[math]}$ , то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: $\text{[math]}$ .

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

Биморфи́зм — морфизм категории, являющийся мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то есть морфизм, на который можно сокращать как слева, так и справа, теоретико-категорное обобщение понятия биективного отображения.

Мономорфи́зм ― морфизм $\text{[math]}$ категории $\text{[math]}$ , такой что из всякого равенства $\text{[math]}$ следует, что $\text{[math]}$ . Часто мономорфизм из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ обозначают $\text{[math]}$ .

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Копроизведение семейства объектов — обобщение в теории категорий понятий дизъюнктного объединения множеств и топологических пространств и прямой суммы модулей или векторных пространств. Копроизведение семейства объектов — это «наиболее общий» объект, в который существует морфизм из каждого объекта семейства. Копроизведение объектов двойственно их произведению, то есть определение копроизведения можно получить из определения произведения обращением всех стрелок. Тем не менее, во многих категориях произведение и копроизведение объектов разительно отличаются.

Уравнитель в теории категорий — обобщение понятия решения некоторого уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

\text{[math]}

\text{[math]}

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Унивалентный функтор — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории C^op. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории C^op. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

В теории категорий, понятие элемента обобщает обычное понятие элемента множества на объект произвольной категории. Иногда оно позволяет переформулировать свойства морфизмов, которые обычно описываются при помощи универсальных свойств в более привычных терминах действия отображения на элементах. Этот подход к теории категорий был предложен Гротендиком.

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Функторы Ext — производные функторы функтора Hom. Они впервые появились в гомологической алгебре, где они играют центральную роль, например, в теореме об универсальных коэффициентах, но теперь они используются во многих разных областях математики.

Лемма о змее — инструмент, используемый в математике, особенно в гомологической алгебре, для построения длинных точных последовательностей. Лемма о змее верна в любой абелевой категории и играет ключевую роль в гомологической алгебре и её приложениях, например в алгебраической топологии. Гомоморфизмы, построенные с её помощью, обычно называют связывающими гомоморфизмами.

Производная категория D(A) абелевой категории A представляет собой конструкцию из гомологической алгебры, введённую для уточнения и в определённом смысле упрощения теории производных функторов, определённых на A. Конструкция определяется таким образом, что объектами D(A) становятся цепные комплексы объектов из A, причем два таких комплекса считаются изоморфными, когда существует гомоморфизм между этими комплексами, индуцирующий изоморфизм гомологий этих комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя понятие гиперкогомологий. Определения приводят к существенному упрощению формул, в противном случае описываемых сложными спектральными последовательностями.

Триангулированная категория — это категория с «функтором сдвига» и с классом «выделенных треугольников», удовлетворяющими определённым аксиомам. Важными примерами триангулированных категорий являются производные категории абелевых категорий, а также стабильные гомотопические категории. Выделенные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевых категориях, а также гомотопические последовательности расслоения или корасслоения в топологии.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.