Хиральный многогранник

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Существует два определения хирального многогранника. По одному определению — это многогранник в прямом смысле хиральности (или "зеркальной симметричности"), то есть, что многогранник не имеет зеркальной симметрии. По этому определению многогранник, у которого отсутствует любая симметрия, вообще будет примером хирального многогранника.

По другому определению хиральный многогранник — это симметричный многогранник, но не зеркально симметричный в терминах действия группы симметрии многогранника на его флагах. По этому определению даже высокосимметричный и зеркальносимметричный многогранник, такой как плосконосый куб, не будет хиральным. Более того, большая часть изучения симметричных, но не хиральных многогранников, перенесена в область абстрактных многогранников ввиду недостаточности геометрических примеров.

Многогранники без зеркальной симметрии

Разносторонний треугольник не имеет зеркальных симметрий, а потому хирален в 2-мерном пространстве.
Плосконосый куб вершинно транзитивен, но не зеркально-симметричен.

У многих многогранников отсутствует зеркальная симметрия, и в этом смысле они хиральны. Простейшим примером служит разносторонний треугольник[1].

Многогранник может иметь высокую степень симметрии, но не иметь зеркальной симметрии. Примером служит плосконосый куб, который вершинно транзитивен и хирален ввиду отсутствия зеркальной симметрии[2].

Симметричные хиральные многогранники

Определение

Более формальное определение хирального многогранника — это многогранник, имеющий две орбиты флагов под действием группы симметрии при смежных флагах в различных орбитах. Из этого определения следует, что многогранник должен быть вершинно транзитивен, рёберно транзитивен[англ.] и гране транзитивен, так как каждая вершина, ребро или грань должна быть представлена флагами в обеих орбитах. Однако многогранник не может быть зеркально-симметричен, так как любая зеркальная симметрия многогранника привела бы к обмену смежных флагов[3].

Для этого определения группа симметрии многогранника может быть определена двумя различными путями — она может относиться к симметриям многогранника как геометрического объекта (в этом случае многогранник называется геометрически хиральным) или относиться к симметриям многогранника как комбинаторной структуры (абстрактный многогранник). Хиральность имеет смысл для обоих типов симметрии, но эти два определения не одинаково классифицируют многогранники как хиральные или не хиральные[4].

В трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве геометрически хиральный многогранник не может иметь конечное число ограниченных граней. Например, плосконосый куб вершинно транзитивен, но его флаги имеют более двух орбит и он ни рёберно-транзитивен, ни гране-транзитивен, так что он недостаточно транзитивен для формального определения хиральности. Квазиправильные многогранники и их двойственные, такие как кубооктаэдр и ромбододекаэдр, дают другой интересный тип «почти отсутствия» — они имеют две орбиты флагов, но зеркально симметричны, и не любая пара смежных флагов принадлежит различным орбитам. Однако, несмотря на отсутствие конечных хиральных трёхмерных многогранников, существуют бесконечные трёхмерные хиральные косые многогранники[англ.] типов {4,6}, {6,4} и {6,6}[4].

Примечания

  1. ↑ Tilley, 2006, сPA44.
  2. ↑ Coxeter, 1995, с. 282.
  3. ↑ Schulte, Weiss, 1991, с. 493–516.
  4. ↑ 1 2 Schulte, 2004, с. 55–99.

Литература

  • Richard J. D. Tilley. Crystals and Crystal Structures. — John Wiley & Sons, 2006. — С. 44. — ISBN 9780470018217.
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
  • Egon Schulte, Asia Ivić Weiss. Chiral polytopes // Applied Geometry and Discrete Mathematics (The Victor Klee Festschrift) / Gritzmann P., Sturmfels B.. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1991. — Т. 4. — С. 493–516. — (DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science).
  • Egon Schulte. Chiral polyhedra in ordinary space. I // Discrete and Computational Geometry. — 2004. — Т. 32, вып. 1. — С. 55–99. — doi:10.1007/s00454-004-0843-x. Архивировано 17 ноября 2010 года.

Литература для дальнейшего чтения