Плоский модуль

Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.

Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.^[1]

Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.

Можно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.

• (Левый) ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ называется плоским тогда и только тогда, когда функтор ${\displaystyle N\mapsto M\otimes _{R}N}$ является точным.
• Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ является плоским, если для любого инъективного гомоморфизма ${\displaystyle R}$-модулей ${\displaystyle \phi :K\to L}$ индуцированное отображение ${\displaystyle F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L}$ также инъективно.
• Модуль ${\displaystyle M}$ является плоским, если каждого конечнопорождённого идеала в кольце ${\displaystyle R}$ (с естественным вложением ${\displaystyle I\hookrightarrow R}$) индуцированное отображение ${\displaystyle I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M}$ инъективно.

Для любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S⁻¹R является плоским R-модулем.

Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ является свободным модулем над кольцом частных ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$.

Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм ${\displaystyle f:R\to S}$, имеет смысл спросить, является ли эта алгебра плоским R-модулем. Оказывается, что S является строго плоским модулем тогда и только тогда, когда каждый простой идеал кольца R является прообразом под действием f некоторого простого идеала из S, то есть когда отображение ${\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)}$ сюръективно (см. статью Спектр кольца).

Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:

Модули без кручения ⊃ плоские модули ⊃ проективные модули ⊃ свободные модули.

Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.

Прямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.

Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей.^[2] Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.

Свойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда Tor_n^R(-, M) = 0 для всех ${\displaystyle n\geq 1}$ (то есть когда Tor_n^R(X, M) = 0 для всех ${\displaystyle n\geq 1}$ и всех правых R-модулей X), определение плоского правого модуля аналогично. Используя этот факт, можно доказать несколько свойств короткой точной последовательности модулей:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$

• Если A и C плоские, то и B плоский.
• Если B и C плоские, то и A плоский.

Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако

• Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.

Плоская резольвента модуля M — это резольвента вида

… → F₂ → F₁ → F₀ → M → 0

где все F_i плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.

Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что F_n не равен нулю F_i=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля.^[3], в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F₀ → M → 0 следует, что M изоморфен F₀, то есть является плоским.

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 800, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Enochs, Edgar E. (1981), "Injective and flat covers, envelopes and resolvents", Israel J. Math., 39 (3): 189—209, doi:10.1007/BF0276084, ISSN 0021-2172, MR 0636889
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Mac Lane, Saunders (1963), Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press, MR 0156879
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra
• Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, 6: 1—42, doi:10.5802/aif.59, ISSN 0373-0956, MR 0082175