Экстремально несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики топологическое пространство называется экстремально разрывным пространством, если замыкание любого открытого множества открыто.

Экстремально несвязное пространство, которое также является компактным и хаусдорфовым иногда называется Stonean пространством^[англ.] (не путать со стоуновским пространством^[англ.], которое является вполне несвязным компактным хаусдорфовым пространством). Теорема Эндрю Глизона говорит, что проективные объекты категории компактных хаусдорфовых пространств — это в точности экстремально разрывные компактные хаусдорфовы пространства. Вследствие дуальности между стоуновскими пространством^[англ.] и булевыми алгебрами существует также дуальность между Stonean пространствами^[англ.] и категорией полных булевых алгебр.

Для метрических пространств свойство быть экстремально несвязным (замыкание каждого множества открыто) эквивалентно свойству быть дискретным (каждое множество открыто).

Примеры

Всякое дискретное пространство является экстремально разрывным.
Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства экстремально разрывна.
Спектр абелевой алгебры фон Неймана^[англ.] экстремально разрывен.

См. также

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, замыкание которой компактно. Иногда используется более слабое определение: достаточно чтобы каждая точка имела компактную окрестность. В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Двойственная категория — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории $\text{[math]}$ двойственной является категория $\text{[math]}$ с теми же объектами, что и $\text{[math]}$ и с множествами морфизмов $\text{[math]}$ . Композиция морфизмов в $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в категории $\text{[math]}$ определяется как композиция $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ . Понятия и утверждения, относящиеся к категории $\text{[math]}$ , заменяются двойственными понятиями и утверждениями в $\text{[math]}$ . Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , одной унарной операцией $\text{[math]}$ и двумя выделенными элементами: 0 и 1 такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Спектр кольца в математике — множество всех простых идеалов данного коммутативного кольца. Обычно спектр снабжается топологией Зарисского и пучком коммутативных колец, что делает его локально окольцованным пространством. Спектр кольца $\text{[math]}$ обозначается $\text{[math]}$ .

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Компактификация Стоуна — Чеха — максимальная компактификация вполне регулярного топологического пространства.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств.

Некоммутативная геометрия (НКГ) — раздел математики, посвященный геометрическому подходу к некоммутативным алгебрам и построению «пространств», которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций.

Топологическая группа G называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки. Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда её нейтральный элемент является изолированной точкой. Другими словами, индуцированная топология в G является дискретным пространством. Например, целые числа $\text{[math]}$ образуют дискретную подгруппу вещественных чисел $\text{[math]}$ , а вот рациональные числа $\text{[math]}$ , не образуют. Дискретная группа является топологической группой G, снабжённой дискретной топологией.

Зарытое множество — множество топологического пространства, которое является одновременно замкнутым и открытым.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.