Икосаэдрическая пирамида
Икосаэдрическая пирамида | |
---|---|
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной икосаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство | |
Тип | Многогранная пирамида[англ.] |
Символ Шлефли | ( ) ∨ {3,5} |
Ячеек | 21 |
Граней | 50 |
Рёбер | 42 |
Вершин | 13 |
Двойственный политоп | Додекаэдрическая пирамида |
Икосаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида[англ.], имеющая основанием икосаэдр.
Описание
Ограничена 21 трёхмерной ячейкой — 20 тетраэдрами и 1 икосаэдром. Икосаэдрическая ячейка окружена всеми двадцатью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена икосаэдрической и тремя тетраэдрическими.
Её 50 двумерных граней — треугольники. 20 граней разделяют икосаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 30 — две тетраэдрических.
Имеет 42 ребра. На 30 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (икосаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 12 — по пять граней и по пять ячеек (только тетраэдрические).
Имеет 13 вершин. В 12 вершинах сходятся по 6 рёбер, по 10 граней и по 6 ячеек (икосаэдрическая и пять тетраэдрических); в 1 вершине — 12 рёбер, 30 граней и все 20 тетраэдрических ячеек.
Равногранная икосаэдрическая пирамида
Если все рёбра икосаэдрической пирамиды имеют равную длину , её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как
Высота пирамиды при этом будет равна
радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —
Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды.
Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины шестисотячейника и всех 12 соседних вершин, соединённых с ней ребром.
Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен как и в шестисотячейнике. Угол между икосаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен
В координатах
Равногранную икосаэдрическую пирамиду с длиной ребра можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты
где — отношение золотого сечения.
Ссылки
- Richard Klitzing. Icosahedral pyramid