Подстановка

В математике и информатике подстановка — это операция синтаксической замены подтермов данного терма другими термами, согласно определённым правилам. Обычно речь идёт о подстановке терма вместо переменной.

Для подстановки не существует универсальной, согласованной нотации, равно как и стандартного определения. Понятие подстановки варьируется не только в рамках разделов, но и на уровне отдельных публикаций. В целом, можно выделить контекстную подстановку и подстановку «вместо». В первом случае место в терме, где происходит замена, задаётся контекстом, то есть частью терма, «окружающего» это место. В частности, такое понятие подстановки используется в переписывании. Второй вариант более распространён. В этом случае подстановка обычно задаётся некоторой функцией ${\displaystyle \sigma :X\to T}$ из множества переменных в множество термов. Для обозначения действия подстановки, как правило, используют постфиксную нотацию. Например, ${\displaystyle t\sigma }$ означает результат действия подстановки ${\displaystyle \sigma }$ на терм ${\displaystyle t}$.

В подавляющем большинстве случаев требуется, чтобы подстановка имела конечный носитель, то есть чтобы множество ${\displaystyle \{x\mid x\neq \sigma x\}}$ было конечным. В таком случае её можно задать простым перечислением пар «переменная-значение». Поскольку каждую такую подстановку можно свести к последовательности подстановок, замещающих всего по одной переменной каждая, не ограничивая общности, можно считать, что подстановка задаётся одной парой «переменная-значение», что обычно и делается.

Последнее определение подстановки является, видимо, самым типичным и часто используемым. Однако и для него не существует единой общепринятой нотации. Наиболее часто для обозначения подстановки a вместо x в t используется запись t[a/x], t[x:=a] или t[x←a].

В λ-исчислении подстановка определяется структурной индукцией. Для произвольных объектов ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ и произвольной переменной ${\displaystyle x}$ результат замещения произвольного свободного вхождения ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle Q}$ считается подстановкой и определяется индукцией по построению ${\displaystyle Q}$:

(i) базис: ${\displaystyle Q\equiv x}$: объект ${\displaystyle Q}$ совпадает с переменной ${\displaystyle x}$. Тогда ${\displaystyle [P/x]x\equiv P}$;

(ii) базис: ${\displaystyle Q\equiv c}$: объект ${\displaystyle Q}$ совпадает с константой ${\displaystyle c}$. Тогда ${\displaystyle [P/x]c\equiv c}$ для произвольных атомарных ${\displaystyle c\not \equiv x}$;

(iii) шаг: ${\displaystyle Q\equiv (Q_{1}\,Q_{2})}$: объект ${\displaystyle Q}$ неатомарный и имеет вид аппликации ${\displaystyle (Q_{1}\,Q_{2})}$. Тогда ${\displaystyle [P/x](Q_{1}\,Q_{2})\equiv ([P/x]Q_{1})([P/x]Q_{2})}$;

(iv) шаг: ${\displaystyle Q\equiv \lambda x.M}$: объект ${\displaystyle Q}$ неатомарный и является ${\displaystyle x}$-абстракцией ${\displaystyle \lambda x.M}$. Тогда [${\displaystyle P/x](\lambda x.M)\equiv \lambda x.M}$;

(v) шаг: ${\displaystyle Q\equiv \lambda y.M}$: объект ${\displaystyle Q}$ неатомарный и является ${\displaystyle y}$-абстракцией ${\displaystyle \lambda y.M}$, причем ${\displaystyle y\not \equiv x}$. Тогда:

${\displaystyle [P/x](\lambda y.M)\equiv (\lambda y.[P/x]M)}$ для ${\displaystyle y\not \equiv x}$ и ${\displaystyle y\notin P}$ или ${\displaystyle x\notin M}$;

${\displaystyle (\lambda z.[P/x][z/y]M)}$ для ${\displaystyle y\not \equiv x}$ и ${\displaystyle y\in P}$ и ${\displaystyle x\in M}$.

• Аппликативное программирование
• λ-исчисление
• λ-исчисление с типами
• Стратегия вычисления